肇事司机全责,不肯垫付医药费是违法行为。可以自己先行付上医药费，拿着缴费单据到人民法院起诉。根据《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》的规定，肇事者全责，造成受害者人身伤害的，必须给予赔偿。包括医疗费，医药费，误工费等等。也就是说肇事者必须赔偿。不赔可以直接起诉。

【法律依据】

《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第十七条，受害人遭受人身损害，因就医治疗支出的各项费用以及因误工减少的收入，包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费，赔偿义务人应当予以赔偿。